Приводим к общему знаменателю: 2(2K+1)(2K+3) и переносим всё выражение в левую сторону, приравняв его к 0. Соответственно, остаётся доказать, что числитель у полученной дроби будет равен 0. А выглядит он теперь следующим образом: К(К+1)(2К+3)+2(К+1)^2 - (K+1)(K+2)(2K+1). Преобразовываем и сокращаем: (К+1)[K(2K+3)+2(K+1)-(K+2)(2K+1)] = (K+1)[2K^2+3K+2K+2-(2K^2+4K+K+2)] = (K+1)[2K^2+5K+2-2K^2-4K-K-2] = (K+1)[2K^2+2-2K^2-2] = (K+1)[2-2] = (K+1)*0 = 0. "Словесную" часть, думаю, допишете самостоятельно.
